So, und jetzt kommt die Lösung: Ich hatte nur drei Buchstaben bei der Domain-Bezeichnung des VLANs.
Nun habe ich 6 Zeichen und nun funktioniert es... <facepalm>
Nach langer Suche nach einer Lösung für das Problem, dass meine lokalen, in Pi-Hole eingetragenen, DNS Einträge im Browser nicht aufgelöst wurden, führte dieser Hinweis schlussendlich zur Lösung.
Einträge wie X.home, X.lan konnten nicht aufgelöst werden, wogegen X.private nun funktioniert.
Kann sich einer erklären, woran dies genau liegt?